Ley del Coseno

Ley del Coseno
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\,



 Demostraciones

  • Por el teorema de Pitágoras

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo \gamma es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.
Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos
Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:
(left)c^2 = h^2 + u^2\,
Pero, la longitud h también se calcula así:
(left)h^2 = a^2 - (b-u)^2\,
Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:
c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,
Por la definición de coseno, se tiene:
cos\gamma\,= \frac{b-u}{a}
y por lo tanto:
u = b- a \,\cos\gamma\,
Sustituimos el valor de u en la ecuación para c^2, concluyendo que:
c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma
con lo que concluye la prueba del primer caso.
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.
Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente c^2 = h^2 + u^2 pero en este caso h^2 = a^2 - (b+u)^2. Combinando ambas ecuaciones obtenemos  c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2  y de este modo:
c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,.
De la definición de coseno, se tiene cos\gamma\,= \frac{b+u}{a} y por tanto:
u = a\, \cos\gamma -b\,.
Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente
c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,.
Esto concluye la demostración.
Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

Ejemplo:


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